Credits

Feb 25 2019

Les йquations du second degrй, un degré.

#Un #degré


Un degré

Démonstration de la formule de résolution

Vous êtes le visiteur no

Mise à jour : dimanche 1 er juillet 2001.

Tout nombre multiplié par zéro (n * 0 = 0). Notre équation “ax 2 + bx + c” étant égal à 0, on peut donc la multiplier par 4a par exemple :

4a * (ax 2 + bx + c) = 0

4a 2 x 2 + 4abx + 4ac = 0

Des deux cotés de l’équation, ajoutons b 2 :

4a 2 x 2 + 4abx + b 2 = b 2 – 4ac

Dans la partie de gauche, nous reconnaissons une identité remarquable du type :

(i + j) 2 = i 2 + 2ij + j 2

Ce qui donne : (2ax + b) 2 = b 2 – 4ac

(Notez cette équation pour le deuxième développement (*).)

(*) Reprenons l’équation citée dans le premier développement :

(2ax + b) 2 = b 2 – 4ac

D’où : -(2ax +b) =

Tout nombre, quelque soit son signe, élevé au carré donne un nombre positif. Donc (-(2ax + b)) 2 équivaut à (2ax + b) 2 .

Reprenons notre simplification :

a x 2 + b x + c = 0

0 x 2 + b x + c = 0

Tout nombre multiplié par zéro est égale à zéro. On se retrouve donc avec une équation du type b x + c = 0.

Du coup le discriminant (b 2 – 4ac) devient égale à 0.

Donc notre équation devient x = -b +- racine(0)/2a. L’équation ax 2 + bx + c = 0 se retrouve donc qu’avec une solution : x = -b / 2a.

La résolution est impossible puisque cela équivaut à avoir une racine carré d’un nombre négatif.

C’est dans ce cas que l’équation a effectivement deux solutions.

Exemple numérique : a = 5, b = 14, c = 3. 5x 2 + 14x + 3 = 0.

x = (-14 + racine(14 2 – 4 * 5 * 3)) / 2 * 5

x = (-14 + racine(196 – 60)) / 10

x = (-14 + racine(136)) / 10

x = (-14 + 11,6619) / 10

x’ = (-14 – racine(14 2 – 4 * 5 * 3)) / 2 * 5

x’ = (-14 – racine(196 – 60)) / 10

x’ = (-14 – racine(136)) / 10

x’ = (-14 – 11,6619) / 10

Remarque : En réalité la racine carré de 136 comporte beaucoup plus de décimales. Cela a été arrondi à 11,6619 pour l’exemple.


Written by REAL-ESTATE