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Feb 25 2019

Quations de degr – 2 (niveau Premi – re), degré.

#Degré


Équations de degré 2 (niveau Première) – cours

I. Une йquation de degrй 2, d’inconnue x, sous forme dйveloppйe ,

s’йcrit axІ + bx + c = 0 , oщ a, b et c sont des nombres connus avec a≠0

Rйsoudre dans ℝ une йquation d’inconnue x , c’est trouver les solutions rйelles, c’est-а-dire les valeurs des rйels x qui rendent l’йgalitй correcte.

Exemple : 3 x І – 2 x – 5 = 0 est une йquation de degrй 2.

Le nombre 1 ne rend pas l’йgalitй correcte.

Donc 1 n’est pas une solution de l’йquation 3 x І – 2 x – 5 = 0

  • Tandis que, en remplaзant x par – 1 dans 3 x І – 2 x – 5, on obtient 0.

Le nombre – 1 rend l’йgalitй correcte.

Donc – 1 est une solution de l’йquation 3 x І – 2 x – 5 = 0

II. RЙSOUDRE l’ЙQUATION de degrй 2,

On calcule le DISCRIMINANT bІ – 4ac , notй souvent Δ , puis il suffit de regarder le signe de Δ et de connaоtre le tableau suivant pour pouvoir conclure :

on peut conclure :

l’йquation a deux solutions rйelles

calcul de ces solutions:

Δ, positif, est le carrй d’un nombre, soit Δ = rІ

on peut conclure :

l’йquation a une solution unique rйelle

calcul de cette solution :

on peut conclure :

l’йquation n’a aucune solution rйelle

a) x І + x + 1 = 0 est une йquation de degrй 2; son discriminant est Δ = – 3 ; Δ est nйgatif et non nul.

Donc l’йquation x І + x + 1 = 0 n’a pas de solution dans ℝ

b) – x І + x + 30 = 0 est une йquation de degrй 2; son discriminant est Δ = 1І – 4(-30) = 121 ;

Δ est positif non nul, et Δ est le carrй de 11.

Donc l’йquation – x І + x + 30 = 0 admet 2 solutions dans ℝ

Calcul de ces solutions :

donc l’йquation – x І + x + 30 = 0 a pour solutions – 5 et 6

III. CAS PARTICULIERS

Dans certains cas, il n’est PAS UTILE de CALCULER Δ

x І – 5 x = 0 est une йquation de degrй 2 et on sait FACTORISER le membre x І – 5 x .

x І – 5 x = x ( x – 5) quelle que soit la valeur donnйe а x

donc les solutions de x І – 5 x = 0 sont identiques aux solutions de x ( x – 5) = 0

On dit que les йquations x І – 5 x = 0 et x ( x – 5) = 0 sont йquivalentes .

On peut alors appliquer le thйorиme d’un produit de facteurs йgal а 0

‘L’un des facteurs est nul’

donc x = 0 ou x – 5 = 0 et il n’y a pas d’autre solution.

Les nombres 0 et 5 sont donc les seules solutions de l’йquation x І – 5 x = 0

169 – x І = 0 est une йquation de degrй 2 et on sait FACTORISER le membre 169 – x І .

169 – x І = 13І – x І = (13 – x )(13 + x ) quelle que soit la valeur donnйe а x

donc l’йquation 169 – x І = 0 est йquivalente а (13 – x )(13 + x ) = 0

‘L’un des facteurs est nul’

d’oщ les nombres 13 et – 13 sont les seules solutions de l’йquation 169 – x І = 0

16 + x І = 0 est une йquation de degrй 2 et on ne sait pas FACTORISER le membre 16 + x І .

L’йquation 16 + x І = 0 est йquivalente а x І = – 16

‘Le carrй d’un rйel est positif ou nul’

d’oщ l’йquation 16 + x І = 0 n’a pas de solution dans l’ensemble des rйels

– 2 x І + 16 x – 32 = 0 est une йquation de degrй 2 et on sait FACTORISER le membre – 2 x І + 16 x – 32 .

– 2 x І + 16 x – 32 = – 2( x І – 8 x + 16) = – 2 ( x – 4)І quelle que soit la valeur donnйe а x

Ici on a reconnu une identitй remarquable : ‘aІ – 2ab + bІ = (a – b)І’

donc l’йquation -2x І + 16 x – 32 = 0 est йquivalente а -2( x – 4)І = 0

‘L’un des facteurs est йgal а 0’

seul l’un des facteurs ( x – 4) peut кtre йgal а 0; donc x = 4 et il n’y a pas d’autre solution.

Le nombre 4 est donc la seule solution de l’йquation -2 x І + 8 x – 32 = 0

Remarque : si on avait calculй le discriminant de – 2 x І + 16 x – 32, on aurait trouvй Δ = 0.

Retenir: а chaque fois que l’on obtient pour discriminant 0, on aurait pu factoriser !

Un exercice de maths gratuit pour apprendre les maths (mathématiques). (tags: equation )

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Written by AUTO


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